问题1098--求公约数公倍数

1098: 求公约数公倍数

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题目描述

分别求两个整数的最大公约数和最小公倍数

输入

两个整数 范围是 [1, 10000]

输出

最大公约数 最小公倍数

样例输入 Copy

6 15

样例输出 Copy

3 30

提示

 欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。
基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一种证明:
      a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
  假设d是a,b的一个公约数,则有
  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
  因此d是(b,a mod b)的公约数
  假设d 是(b,a mod b)的公约数,则
  d | b , d |r ,但是a = kb +r
  因此d也是(a,b)的公约数
  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
 
第二种证明:
    要证欧几里德算法成立,即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思,r=a mod b
    下面证 gcd(a,b)=gcd(b,r)
    设  c是a,b的最大公约数,即c=gcd(a,b),则有 a=mc,b=nc,其中m,n为正整数,且m,n互为质数
    由 r= a mod b可知,r= a- qb 其中,q是正整数,
    则 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
    b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互质(假设n,m-qn不互质,则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数,且d>1
                                                                则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc,与前提矛盾,
                                                                 所以n ,m-qn一定互质)
    则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
    得证。
 
算法的实现:
最简单的方法就是应用递归算法,代码如下:
 
1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return a;
5     return 
6         gcd(b,a%b);
7 }
代码可优化如下:
1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b ? gcd(b,a%b) : a;
4 }
当然你也可以用迭代形式:
 
 1 int Gcd(int a, int b)
 2 {
 3     while(b != 0)
 4     {
 5       int r = b;
 6       b = a % b;
 7       a = r;
 8     }
 9     return a;
10 }

来源/分类

gcd